\chapter{动量守恒定律及其应用}
\section{动量定理　动量守恒定律}


1．动量、动量变化、冲量

(1)动量

\ding{172}定义：物体的\_\_质量\_\_与\_\_速度\_\_的乘积．

\ding{173}表达式：$p=mv$.

\ding{174}方向：动量的方向与\_\_速度\_\_的方向相同．

(2)动量的变化

\ding{172}因为动量是矢量，动量的变化量$\Delta p$也是\_\_矢量\_\_，其方向与速度的改变量$\Delta v$的方向\_\_相同\_\_.

\ding{173}动量的变化量$\Delta p$的大小，一般用末动量p'减去初动量p进行计算，也称为动量的增量．即$Δp=p'-p$.

(3)冲量

\ding{172}定义：\_\_力\_\_与\_\_力的作用时间\_\_的乘积叫做力的冲量．

\ding{173}公式：$I=Ft$.

\ding{174}单位：$N\cdot s$.

\ding{175}方向：冲量是\_\_矢量\_\_，其方向\_\_与力的方向相同\_\_.

2．动量定理

(1)内容：物体在一个运动过程始末的\_\_动量变化量\_\_等于它在这个过程中所受\_\_合力\_\_的冲量．

(2)公式：$mv'-mv=F(t'-t)$或$p'-p=I$.

(3)动量定理的理解

\ding{172}动量定理反映了力的冲量与动量变化量之间的因果关系，即外力的冲量是原因，物体的动量变化量是结果．

\ding{173}动量定理中的冲量是合力的冲量，而不是某一个力的冲量，它可以是合力的冲量，可以是各力冲量的矢量和，也可以是外力在不同阶段冲量的矢量和．

\ding{174}动量定理表达式是矢量式，等号包含了大小相等、方向相同两方面的含义．
\newpage
3．动量守恒定律

(1)定律内容：一个系统\_\_不受外力\_\_或者\_\_所受外力的合力为零\_\_时，这个系统的总动量保持不变．

(2)公式表达：$m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2'$.

(3)适用条件和适用范围

系统不受外力或者所受外力的矢量和为\_\_零\_\_；系统受外力，但外力远小于内力，可以忽略不计；如爆炸、碰撞等过程，可以近似认为系统的动量守恒．系统在某一个方向上所受的合外力为零，则该方向上\_\_动量守恒\_\_.全过程的某一阶段系统受的合外力为零，则该阶段系统动量守恒．

4．动量守恒定律的应用

(1)碰撞

\ding{172}碰撞现象

两个或两个以上的物体在相遇的\_\_极短\_\_时间内产生\_\_非常大\_\_的相互作用的过程．

\ding{173}碰撞特征

a．作用时间\_\_短\_\_.

b．作用力变化\_\_快\_\_.

c．内力\_\_远大于\_\_外力．

d．满足\_\_动量守恒\_\_.

\ding{174}碰撞的分类及特点

a．弹性碰撞：动量\_\_守恒\_\_，机械能\_\_守恒\_\_.

b．非弹性碰撞：动量\_\_守恒\_\_，机械能\_\_不守恒\_\_.

c．完全非弹性碰撞：动量\_\_守恒\_\_，机械能损失\_\_最多\_\_.

(2)爆炸现象

爆炸过程中内力远大于外力，爆炸的各部分组成的系统总动量\_\_守恒\_\_.

(3)反冲运动

\ding{172}物体在内力作用下分裂为两个不同部分并且这两部分向\_\_相反\_\_方向运动的现象．

\ding{173}反冲运动中，相互作用力一般较大，通常可以用\_\_动量守恒\_\_定律来处理．

\newpage
\subsection{动量、冲量的理解}

1．动量、动能、动量变化量的比较

\begin{longtable}[]{@{}llll@{}}
\toprule
& 
动量
&
动能
&动量变化量
\tabularnewline
\midrule
\endhead
定义 & 物体的质量和速度的乘积 & 物体由于运动而具有的能量 &
物体末动量与初动量的差\tabularnewline
定义式 & $p=mv$ & $E_k=\dfrac{1}{2} mv^2$ & $\Delta p=p_2-p_1$\tabularnewline
矢标性 & 矢量 & 标量 & 矢量\tabularnewline
特点 & 状态量 & 状态量 & 过程量\tabularnewline
关联方程 &\multicolumn{3}{c}{ $E_{\mathrm{k}}=\dfrac{p^{2}}{2 m}, E_{\mathrm{k}}=\dfrac{1}{2} p v, p=\sqrt{2 m E_{\mathrm{k}}}, p=\dfrac{2 E_{\mathrm{k}}}{v}$}\tabularnewline
\bottomrule
\end{longtable}

2．冲量和功的区别

(1)冲量和功都是过程量．冲量是表示力对时间的积累作用，功表示力对位移的积累作用．

(2)冲量是矢量，功是标量．

(3)力作用的冲量不为零时，力做的功可能为零；力做的功不为零时，力作用的冲量一定不为零．

3．冲量和动量的区别

(1)冲量是过程量

(2)动量是状态量

{[}例1{]}物体受到合力F的作用，由静止开始运动，合力F随时间变化的图象如图所示，下列说法中正确的是(　BCD　)

\begin{center}\includegraphics[width=1.17014in,height=0.59444in]{media/image248.png}\end{center}

A．该物体将始终向一个方向运动

B．3 s末该物体回到原出发点

C．0～3 s内，合力F的冲量等于零，功也等于零

D．2～4 s内，合力F的冲量不等于零，功却等于零
\begin{solution}
	图线和横坐标所围的面积等于冲量，0～1秒内的冲量为负，说明速度沿负方向，而1～2秒内冲量为正，且大于0～1秒内的冲量，即速度的方向发生变化，所以选项A错误；0～3秒内，合力F的冲量为零，即物体0秒时的速度和3秒时的速度一样，故0～3秒内合力F的冲量等于零，功也等于零，选项C正确；分析运动过程如图所示，可以得到3秒末物体回到原出发点，选项B正确；2～4秒内，合力F的冲量不等于零，物体2秒时和4秒时速度大小相等，根据动能定理，2～4秒内合力F做的功为零，故选项D正确．
\end{solution}

\begin{center}\includegraphics[width=1.38681in,height=0.75486in]{media/image249.png}\end{center}
\newpage
\subsection{动量定理及其应用}

\begin{center}\includegraphics[width=0.70764in,height=0.12292in]{media/image37.png}

\textbf{动量定理的两个重要应用}
\end{center}

(1)应用$I\neq \Delta p$求变力的冲量

如果物体受到大小或方向改变的力的作用，则不能直接用I=Ft求变力的冲量，可以求出该力作用下物体动量的变化$\Delta p$，等效代换变力的冲量I.

(2)应用$\Delta p$=F$\Delta$t求动量的变化

例如，在曲线运动中，速度方向时刻在变化，求动量变化($\Delta p=p_2-p_1$)需要应用矢量运算方法，计算比较复杂，如果作用力是恒力，可以求恒力的冲量，等效代换动量的变化．

{[}例2{]}(2017·吉林长春质检)有一个质量为0.5 kg的篮球从h=0.8m的高度落到水平地板上，每弹跳一次上升的高度总等于前一次的0.64倍，且每次球与地面接触时间相等，空气阻力不计，与地面碰撞时，篮球重力可忽略．(重力加速度g取$10m/s^2$)

(1)第一次球与地板碰撞，地板对球的冲量为多少？

(2)相邻两次球与地板碰撞的平均冲力大小之比是多少？

\begin{solution}
	(1)3.6 N·s　(2)5:4
	
	(1)篮球原高度为h，与地面第一次碰前瞬时速度为$v_{0}=\sqrt{2 g h}=\sqrt{2 \times 10 \times 0.8} \mathrm{m} / \mathrm{s}=4 \mathrm{m} / \mathrm{s}$，由$v^2=2gh$可知碰后的速度为$v_{0}=\sqrt{2 g h}=\sqrt{2 \times 10 \times 0.8} \mathrm{m} / \mathrm{s}=4 \mathrm{m} / \mathrm{s}$.

选向上为正方向，由动量定理有

$I=m v_{1}-\left(-m v_{0}\right)=1.8 m v_{0}=1.8 \times 0.5 \times 4 \mathrm{N} \cdot \mathrm{s}=3.6 \mathrm{N} \cdot \mathrm{s}$.

(2)第二次碰前瞬时速度和第二次碰后瞬时速度关系为$v_{2}=0.8 v_{1}=0.8^{2} v_{0}=0.64 v_{0}$.

设两次碰撞中地板对球的平均冲力分别为F1、F2，选向上为正方向，由动量定理有

$v_{2}=0.8 v_{1}=0.8^{2} v_{0}=0.64 v_{0}$，

$F_{2} t=m v_{2}-\left(-m v_{1}\right)=1.8 m v_{1}=1.44 m v_{0}$，

$F_1$:$F_2$=5:4.

容易知道，任意相邻两次球与地板碰撞的平均冲力大小之比均为5:4.
\end{solution}


{[}例3{]}(2018·湖北黄冈模拟)一股水流以10m/s的速度从喷嘴竖直向上喷出，喷嘴截面积为$0.5 cm^2$，有一质量为0.32kg的球，因受水对其下侧的冲击而停在空中，若水冲击球后速度变为0，则小球停在离喷嘴多高处？(g取$10m/s^2$)
\begin{solution}
	1.8 m
\end{solution}

\begin{center}\includegraphics[width=0.70764in,height=0.12292in]{media/image25.png}

\textbf{应用动量定理解题的基本思路}
\end{center}


\begin{center}\includegraphics[width=2.36806in,height=1.97153in]{media/image250.png}\end{center}

	

\subsection{动量守恒定律及其应用}

1．动量守恒定律的``五性''

\begin{longtable}[]{@{}ll@{}}
\toprule
条件性 & 首先判断系统是否满足守恒条件(合力为零)\tabularnewline
\midrule
\endhead
相对性 & 公式中$\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{1}^{\prime}, \boldsymbol{v}_{2}^{\prime}$必须相对于同一个惯性系\tabularnewline
同时性 &
公式中$v_1$、$v_2$是在相互作用前同一时刻的速度，$v_1^\prime$、$v_2^\prime$是相互作用后同一时刻的速度\tabularnewline
矢量性 &
应先选取正方向，凡是与选取的正方向一致的动量为正值，相反为负值\tabularnewline
普适性 & 不仅适用于低速宏观系统，也适用于高速微观系统\tabularnewline
\bottomrule
\end{longtable}

2．应用动量守恒定律时的注意事项

(1)动量守恒定律的研究对象都是相互作用的物体组成的系统．系统的动量是否守恒，与选择哪几个物体作为系统和分析哪一段运动过程有直接关系．

(2)分析系统内物体受力时，要弄清哪些力是系统的内力，哪些力是系统外的物体对系统的作用力．

{[}例4{]}(2017·广西南宁模拟)如图所示，质量均为m的小车和木箱紧挨着静止在光滑的水平冰面上，质量为2m的小孩站在小车上用力向右迅速推出木箱，木箱相对于冰面运动的速度为v，木箱运动到右侧墙壁时与竖直墙壁发生弹性碰撞，反弹后能被小孩接住．求：

\begin{center}\includegraphics[width=1.01875in,height=0.34931in]{media/image251.png}\end{center}

(1)小孩接住箱子后共同速度的大小；

(2)若小孩接住箱子后再次以相对于冰面的速度v将木箱向右推出，木箱仍与竖直墙壁发生弹性碰撞，判断小孩能否再次接住木箱．
\begin{solution}
	(1)$\dfrac{v}{2}$　(2)见解析
	
	(1)取向左为正方向，木箱与墙发生弹性碰撞，速度反向．根据动量守恒定律，推出木箱的过程中$0=(m+2 m) v_{1}-mv$，接住木箱的过程中$m v+(m+2 m) v_{1}=(m+m+2 m) v_{2}, \quad v_{2}=\dfrac{v}{2}$.

(2)若小孩第二次将木箱推出，设小孩和小车向左的速度为$v_3$，根据动量守恒定律$4 m v_{2}=3 m v_{3}-m v, v_{3}=v$，故无法再次接住木箱．
\end{solution}


\begin{center}\includegraphics[width=0.70764in,height=0.12292in]{media/image25.png}

\textbf{动量守恒定律解题的基本步骤}
\end{center}


(1)明确研究对象，确定系统的组成；(系统包括哪几个物体及研究的过程)

(2)进行受力分析，判断系统动量是否守恒；(或某一方向上动量是否守恒)

(3)规定正方向，确定初、末状态动量；

(4)由动量守恒定律列出方程；

(5)代入数据，求出结果，必要时讨论说明．
\newpage
\subsection{碰撞问题}

碰撞遵守的规律

(1)动量守恒，即$p_{1}+p_{2}=p_{1}^{\prime}+p_{2}^{\prime}$.

(2)动能不增加，即$E_{\mathrm{k} 1}+E_{\mathrm{k} 2} \geq E_{\mathrm{k} 1}^{\prime}+E_{\mathrm{k} 2}^{\prime}$ 或 $\dfrac{p_{1}^{2}}{2 m_{1}}+\dfrac{p_{2}^{2}}{2 m_{2}} \geq \dfrac{p^{\prime 2}}{2 m_{1}}+\dfrac{p^{\prime 2}}{2 m_{2}}$.　

(3)速度要合理

\ding{172}碰前两物体同向，则$v_{\text{后}}>v_{\text{前}}$；碰后，原来在前的物体速度一定增大，且$v_{\text{前}}^\prime>v_{\text{后}}^\prime$．

\ding{173}两物体相向运动，碰后两物体的运动方向不可能都不改变．

{[}例5{]}如图，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间．A的质量为m，B、C的质量都为M，三者均处于静止状态．现使A以某一速度向右运动，求m和M之间应满足什么条件，才能使A只与B、C各发生一次碰撞．设物体间的碰撞都是弹性碰撞．

\begin{center}\includegraphics[width=1.23611in,height=0.17014in]{media/image252.png}\end{center}
\begin{solution}$(\sqrt{5}-2) M \leq m<M$

	设A运动的初速度为v0，A向右运动与C发生碰撞，由动量守恒定律得$m v_{0}=m v_{1}+M v_{2}$，

由机械能守恒得$\dfrac{1}{2} m v_{0}^{2}=\dfrac{1}{2} m v_{1}^{2}+\dfrac{1}{2} M v_{2}^{2}$，

可得$v_{1}=\dfrac{m-M}{m+M} v_{0}, \quad v_{2}=\dfrac{2 m}{m+M} v_{0}$.

要使得A与B能发生碰撞，需要满足$v_{1}<0, \quad$ 即 $m<M$，

A反向向左运动与B发生碰撞过程，有$m v_{1}=m v_{3}+M v_{4}$，

$\dfrac{1}{2} m v_{1}^{2}=\dfrac{1}{2} m v_{3}^{2}+\dfrac{1}{2} M v_{4}^{2}$，

整理可得$v_{3}=\dfrac{m-M}{m+M} v_{1}=\left(\dfrac{m-M}{m+M}\right)^{2} v_{0}, \quad v_{4}=\dfrac{2 m}{m+M} v_{1}$.

由于m＜M，所以A还会向右运动，根据要求不发生第二次碰撞，需要满足$v3\leq v2$，

即$\dfrac{2 m}{m+M}_{00 \geq}\left(\dfrac{m-M}{m+M}\right)^{2} v_{0}$，

整理可得$m^{2}+4 M m \geq M^{2}$，

解方程可得$m \geq(\sqrt{5}-2) M$，

所以使A只与B、C各发生一次碰撞，需满足

$(\sqrt{5}-2) M \leq m<M$.
\end{solution}


\begin{center}\includegraphics[width=0.70764in,height=0.12292in]{media/image13.png}

\textbf{碰撞问题解题策略}
\end{center}


(1)抓住碰撞的特点和不同种类碰撞满足的条件，列出相应方程求解．

(2)可熟记一些公式，例如``一动一静''模型中，两物体发生弹性正碰后的速度满足$v_{1}=\dfrac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}} v_{0}, \quad v_{2}=\dfrac{2 m_{1}}{m_{1}+m_{2}} v_{0}$.

(3)熟记弹性正碰的一些结论，例如，当两球质量相等时，两球碰撞后交换速度；当$m_{1} \gg m_{2},$ 日 $v_{20}=0$时，碰后质量大的速率不变，质量小的速率为$2 v_{0} ; \quad$ 当 $m_{1} \ll m_{2}, \quad$ 目 $v_{20}=0$时，碰后质量小的球原速率反弹．
\newpage
\subsection{爆炸、反冲和``人船模型''}

1．爆炸的特点

(1)动量守恒：由于爆炸是在板短的时间内完成的，发生爆炸时物体间的相互作用力远远大于受到的外力，所以在爆炸过程中，系统的总动量守恒．

(2)动能增加：在爆炸过程中，由于有其他形式的能量(如化学能)转化为动能，所以爆炸前后系统的总动能增加．

(3)位置不变：爆炸的时间极短，因而在作用过程中，物体产生的位移很小，一般可忽略不计，可以认为爆炸后仍然从爆炸前的位置以新的动量开始运动．

{[}例6{]}(2018·河南六市一联)如图所示，光滑水平面上有三个滑块A、B、C，质量关系是$m_{A}=m_{C}=m, m_{B}=\dfrac{m}{2}$.开始时滑块B、C紧贴在一起，中间夹有少量炸药，处于静止状态，滑块A以速度$v_0$正对B向右运动，在A未与B碰撞之前，引爆了B、C间的炸药，炸药爆炸后B与A迎面碰撞，最终A与B黏在一起，以速率$v_0$向左运动．求：

(1)炸药爆炸过程中炸药对C的冲量；

(2)炸药的化学能有多少转化为机械能？

\begin{center}\includegraphics[width=1.23611in,height=0.33958in]{media/image253.png}\end{center}

\begin{solution}
	(1)$\dfrac{5}{2} m v_{0}$，水平向右　(2)$\dfrac{75}{8} m v_{0}^{2}$
\end{solution}
2．反冲

(1)现象：物体的不同部分在内力的作用下向相反方向运动的现象．

(2)特点：一般情况下，物体间的相互作用力(内力)较大，因此系统动量可能是动量守恒、动量近似守恒或某一方向上动量守恒．反冲运动中机械能往往不守恒．

(3)实例：喷气式飞机、火箭等都是利用反冲运动的实例．

{[}例7{]}一质量为M的航天器，正以速度$v_0$在太空中飞行，某一时刻航天器接到加速的指令后，发动机瞬间向后喷出一定质量的气体，气体喷出时速度大小为$v_1$，加速后航天器的速度大小为$v_2$，则喷出气体的质量m为(　C　)

A．$m=\dfrac{v_{2}-v_{0}}{v_{1}} M$　　 

B．$m=\dfrac{v_{2}}{v_{2}+v_{1}} M$

C．$\dfrac{v_{2}-v_{0}}{v_{2}+v_{1}} M$　　 

D．$\dfrac{v_{2}-v_{0}}{v_{2}-v_{1}} M$

3．``人船模型''

若系统在全过程中动量守恒，则这一系统在全过程中平均动量也守恒．如果系统由两个物体组成，且相互作用前均静止，相互作用中均发生运动，则由$m_{1} \overline{v_{1}}-m_{2} \overline{v_{2}}=0$，得$m_{1} x_{1}=m_{2} x_{2}$.　



\begin{center}\includegraphics[width=0.70764in,height=0.12292in]{media/image13.png}

\textbf{利用``人船模型''解题需注意两点}
\end{center}


(1)条件

\ding{172}系统的总动量守恒或某一方向上的动量守恒．

\ding{173}构成系统的两物体原来静止，因相互作用而反向运动．

\ding{174}$x_1$、$x_2$均为沿动量方向相对于同一参考系的位移．

(2)解题关键是画出初、末位置，确定各物体位移关系．
